JavaScript BigInt криптография эллиптических кривых: глубокий взгляд на продвинутые операции

В эпоху, когда доминирует цифровое взаимодействие, от децентрализованного финансирования (DeFi) до сквозного шифрования сообщений, сила наших криптографических основ никогда не была более важной. Криптография эллиптических кривых (ECC) является столпом современной криптографии с открытым ключом, предлагая надежную безопасность с меньшими размерами ключей по сравнению с ее предшественниками, такими как RSA. В течение многих лет выполнение этих сложных математических операций непосредственно в JavaScript было проблемой, часто требующей специализированных библиотек, которые абстрагировались от низкоуровневых деталей или справлялись с ограничениями стандартного типа чисел JavaScript.

Внедрение собственного типа BigInt в JavaScript (ES2020) стало революционным моментом. Он освободил разработчиков от ограничений 64-битного числа с плавающей запятой Number, предоставив механизм для обработки произвольно больших целых чисел. Эта единственная функция открыла потенциал для производительных, собственных и более прозрачных криптографических реализаций непосредственно в средах JavaScript, таких как браузеры и Node.js.

Хотя многие разработчики знакомы с основами ECC — генерацией пар ключей и подписью сообщений — истинная сила этой технологии заключается в ее более продвинутых операциях. Эта статья выходит за рамки основ и исследует сложные криптографические протоколы и методы, которые теперь доступны благодаря BigInt. Мы углубимся в эллиптическую кривую Диффи-Хеллмана (ECDH) для безопасного обмена ключами, восстановления открытого ключа из подписей и мощные, удобные для агрегирования подписи Шнорра.

Революция BigInt в криптографии JavaScript

Прежде чем мы углубимся в продвинутые операции, важно понять, почему BigInt так сильно меняет правила игры для криптографии в JavaScript.

Проблема с типом `Number`

Традиционный тип JavaScript Number — это число с плавающей запятой двойной точности IEEE 754. Этот формат отлично подходит для широкого спектра приложений, но имеет критическое ограничение для криптографии: он может безопасно представлять только целые числа до Number.MAX_SAFE_INTEGER, что составляет 2⁵³ - 1.

Криптографические ключи и промежуточные значения в ECC намного больше. Например, популярная кривая secp256k1, используемая Bitcoin и Ethereum, работает в поле простых чисел длиной 256 бит. Эти числа на несколько порядков больше, чем то, что может обрабатывать стандартный тип Number без потери точности. Попытка выполнить вычисления с такими числами приведет к неверным и небезопасным результатам.

Ввод `BigInt`: целые числа произвольной точности

BigInt изящно решает эту проблему. Это отдельный числовой тип, который предоставляет способ представления целых чисел любого размера. Вы можете создать BigInt, добавив `n` в конец целочисленного литерала или вызвав конструктор BigInt().

Пример:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Safe with BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // A 256-bit prime number

С помощью BigInt все стандартные арифметические операторы (+, -, *, /, %, **) работают как и ожидалось с этими огромными целыми числами. Эта возможность является основой, на которой построены собственные реализации ECC JavaScript, что позволяет выполнять прямые, точные и безопасные вычисления криптографических алгоритмов без использования внешних модулей WebAssembly или громоздких библиотек многокомпонентных чисел.

Напоминание об основах криптографии эллиптических кривых

Чтобы оценить продвинутые операции, давайте кратко рассмотрим основные концепции ECC.

В основе ECC лежит алгебраическая структура эллиптических кривых над конечными полями. Эти кривые определяются уравнением Вейерштрасса:

y² = x³ + ax + b (mod p)

Где `a` и `b` — константы, определяющие форму кривой, а `p` — большое простое число, определяющее конечное поле.

Основные понятия

• Точка на кривой: Пара координат (x, y), удовлетворяющая уравнению кривой. Все наши криптографические операции — это, по сути, «арифметика точек».
• Базовая точка (G): Общеизвестная, стандартизированная начальная точка на кривой.
• Закрытый ключ (d): Очень большое, криптографически безопасное случайное целое число. Это ваш секрет. В контексте BigInt `d` — это большой `BigInt`.
• Открытый ключ (Q): Точка на кривой, полученная из закрытого ключа и базовой точки посредством операции, называемой скалярным умножением: Q = d * G. Это означает добавление точки G к себе `d` раз.

Безопасность ECC зависит от Проблемы дискретного логарифмирования эллиптических кривых (ECDLP). Легко вычислить открытый ключ `Q`, зная закрытый ключ `d` и базовую точку `G`. Однако вычислительно невозможно определить закрытый ключ `d`, зная только открытый ключ `Q` и базовую точку `G`.

Продвинутая операция 1: Обмен ключами Диффи-Хеллмана на эллиптических кривых (ECDH)

Одним из самых мощных применений ECC является установление общего секрета между двумя сторонами по небезопасному каналу связи. Это достигается с помощью протокола обмена ключами Диффи-Хеллмана на эллиптических кривых (ECDH).

Цель

Представьте двух людей, Алису и Боба, которые хотят безопасно общаться. Им необходимо договориться о симметричном ключе шифрования, который знают только они, но единственным средством связи является общедоступный канал, который может отслеживать подслушивающий Ева. ECDH позволяет им вычислить идентичный общий секрет, никогда не передавая его напрямую.

Протокол шаг за шагом

1. Генерация ключей:
   • Алиса генерирует свой закрытый ключ, `d_A` (большой случайный BigInt), и соответствующий открытый ключ, `Q_A = d_A * G`.
   • Боб генерирует свой закрытый ключ, `d_B` (другой большой случайный BigInt), и свой открытый ключ, `Q_B = d_B * G`.
2. Обмен открытыми ключами:
   • Алиса отправляет свой открытый ключ, `Q_A`, Бобу.
   • Боб отправляет свой открытый ключ, `Q_B`, Алисе.
   • Ева, подслушивающий, может видеть как `Q_A`, так и `Q_B`, но не может получить закрытые ключи `d_A` или `d_B` из-за ECDLP.
3. Расчет общего секрета:
   • Алиса берет открытый ключ Боба `Q_B` и умножает его на свой закрытый ключ `d_A`, чтобы получить точку S: S = d_A * Q_B.
   • Боб берет открытый ключ Алисы `Q_A` и умножает его на свой закрытый ключ `d_B`, чтобы получить точку S: S = d_B * Q_A.

Магия коммутативности

И Алиса, и Боб приходят к одной и той же секретной точке `S` на кривой. Это потому, что скалярное умножение является ассоциативным и коммутативным:

Расчет Алисы: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

Расчет Боба: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

Поскольку d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, они оба вычисляют один и тот же результат, никогда не раскрывая свои закрытые ключи.

От общей точки к симметричному ключу

Полученный общий секрет `S` является точкой на кривой, а не симметричным ключом, подходящим для алгоритмов шифрования, таких как AES. Чтобы получить ключ, стандартной практикой является взятие x-координаты точки `S` и передача ее через Функцию получения ключа (KDF), такую как HKDF (функция получения ключа на основе HMAC). KDF принимает общий секрет и, необязательно, соль и другую информацию и создает криптографически надежный ключ желаемой длины.

Все основные вычисления — генерация закрытых ключей в виде случайных `BigInt` и выполнение скалярного умножения — в значительной степени зависят от арифметики `BigInt`.

Продвинутая операция 2: Восстановление открытого ключа из подписей

Во многих системах, особенно в блокчейнах, первостепенное значение имеют эффективность и минимизация данных. Как правило, для проверки подписи вам необходимо сообщение, сама подпись и открытый ключ подписавшего. Однако умное свойство алгоритма цифровой подписи эллиптической кривой (ECDSA) позволяет восстановить открытый ключ непосредственно из сообщения и подписи. Это означает, что открытый ключ не нужно передавать, что экономит ценное место.

Как это работает (высокий уровень)

Подпись ECDSA состоит из двух компонентов: (`r`, `s`).

• `r` получается из x-координаты случайной точки `k * G`.
• `s` вычисляется на основе хеша сообщения (`z`), закрытого ключа (`d`) и `r`. Формула: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, где `n` — порядок кривой.

Благодаря алгебраическим манипуляциям с уравнением проверки подписи можно получить выражение для открытого ключа `Q`. Однако этот процесс дает два возможных допустимых открытых ключа. Чтобы разрешить эту неоднозначность, небольшой фрагмент дополнительной информации, называемый идентификатором восстановления (часто обозначаемый как `v` или `recid`), включается в подпись. Этот идентификатор, обычно 0, 1, 2 или 3, указывает, какое из возможных решений является правильным и является ли y-координата ключа четной или нечетной.

Почему `BigInt` важен

Математические операции, необходимые для восстановления открытого ключа, являются интенсивными и включают модульные инверсии, умножение и сложение 256-битных чисел. Например, ключевой шаг включает вычисление `(r_inverse * (s*k - z)) * G`. Эти операции — именно то, для чего предназначен `BigInt`. Без него выполнение этих вычислений в собственном JavaScript было бы невозможно без значительной потери точности и безопасности.

Практическое применение: транзакции Ethereum

Этот метод широко используется в Ethereum. Подписанная транзакция не содержит напрямую открытый адрес отправителя. Вместо этого адрес (который получен из открытого ключа) восстанавливается из компонентов `v`, `r` и `s` подписи. Этот выбор дизайна экономит 20 байт на каждой транзакции, что является значительной экономией в масштабе глобального блокчейна.

Продвинутая операция 3: подписи Шнорра и агрегирование

Хотя ECDSA широко используется, он имеет определенные недостатки, включая податливость подписи и отсутствие свойств агрегирования. Подписи Шнорра, еще одна схема на основе ECC, предлагают элегантные решения этих проблем и считаются многими криптографами превосходящими.

Основные преимущества подписей Шнорра

• Доказуемая безопасность: Они имеют более простое и надежное доказательство безопасности по сравнению с ECDSA.
• Неподатливость: Третья сторона не может изменить допустимую подпись на другую допустимую подпись для того же сообщения и ключа.
• Линейность (суперсила): Это самое значительное преимущество. Подписи Шнорра являются линейными, что позволяет использовать мощные методы агрегирования.

Объяснение агрегирования подписей

Свойство линейности означает, что несколько подписей от нескольких подписантов можно объединить в одну компактную подпись. Это кардинально меняет правила игры для схем с несколькими подписями (multisig).

Рассмотрим сценарий, в котором для транзакции требуются подписи 3 из 5 участников. С ECDSA вам нужно будет включить все три отдельные подписи в блокчейн, занимая значительное место.

С подписями Шнорра процесс намного эффективнее:

1. Агрегирование ключей: 3 участника могут объединить свои отдельные открытые ключи (`Q1`, `Q2`, `Q3`) для создания одного агрегированного открытого ключа (`Q_agg`).
2. Агрегирование подписей: С помощью совместного протокола, такого как MuSig2, участники могут создать одну агрегированную подпись (`S_agg`), которая действительна для агрегированного открытого ключа `Q_agg`.

Результатом является транзакция, которая выглядит идентичной стандартной транзакции с одним подписантом снаружи. У него один открытый ключ и одна подпись. Это значительно повышает эффективность, масштабируемость и конфиденциальность, поскольку сложные настройки multisig становятся неотличимыми от простых.

Роль `BigInt`

Магия агрегирования коренится в простом сложении точек эллиптической кривой и скалярной арифметике. Создание агрегированного ключа включает `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, а создание агрегированной подписи включает добавление отдельных компонентов подписи по модулю порядка кривой. Все эти операции, которые составляют основу таких протоколов, как MuSig2, выполняются над большими целыми числами и координатами кривой, что делает `BigInt` незаменимым инструментом для реализации подписей Шнорра и схем агрегирования в JavaScript.

Рекомендации по реализации и лучшие практики безопасности

Хотя `BigInt` позволяет нам понимать и реализовывать эти продвинутые операции, создание криптографии производственного уровня — опасная задача. Вот некоторые важные соображения.

1. НЕ разрабатывайте собственную криптографию для производства

Эта статья призвана обучить и проиллюстрировать основные механизмы. Вы никогда не должны реализовывать эти криптографические примитивы с нуля для производственного приложения. Используйте хорошо проверенные, проверенные и рецензированные библиотеки, такие как `noble-curves`. Эти библиотеки специально созданы экспертами и учитывают множество тонких, но критических проблем безопасности.

2. Операции с постоянным временем и атаки по побочным каналам

Одним из самых опасных подводных камней является атака по побочным каналам. Злоумышленник может проанализировать нефункциональные аспекты системы — такие как энергопотребление или точное время выполнения операции — для утечки информации о секретных ключах. Например, если умножение с битом «1» в ключе занимает немного больше времени, чем с битом «0», злоумышленник может восстановить ключ, наблюдая за изменениями времени.

Стандартные операции `BigInt` в JavaScript не являются операциями с постоянным временем. Время их выполнения может зависеть от значения операндов. Профессиональные криптографические библиотеки используют узкоспециализированные алгоритмы, чтобы гарантировать, что все операции с закрытыми ключами занимают постоянное количество времени, независимо от значения ключа, тем самым снижая эту угрозу.

3. Безопасная генерация случайных чисел

Безопасность любой криптографической системы начинается с качества ее случайности. Закрытые ключи должны быть сгенерированы с использованием криптографически безопасного генератора псевдослучайных чисел (CSPRNG). В средах JavaScript всегда используйте встроенные API:

• Браузер: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

Никогда не используйте `Math.random()` для криптографических целей, поскольку он не предназначен для непредсказуемости.

4. Проверка параметров домена и открытого ключа

При получении открытого ключа из внешнего источника крайне важно проверить его. Злоумышленник может предоставить вредоносную точку, которая на самом деле не находится на указанной эллиптической кривой, что может привести к атакам, раскрывающим ваш закрытый ключ во время обмена ключами ECDH (например, атаки на недопустимые кривые). Надежные библиотеки обрабатывают эту проверку автоматически.

Заключение

Появление `BigInt` коренным образом изменило ландшафт криптографии в экосистеме JavaScript. Он переместил ECC из области непрозрачных библиотек черного ящика в то, что можно реализовать и понять изначально, что способствует новому уровню прозрачности и возможностей.

Мы рассмотрели, как эта единственная функция позволяет выполнять продвинутые и мощные криптографические операции, которые лежат в основе современных безопасных систем:

• Обмен ключами ECDH: Основа для установления безопасных каналов связи.
• Восстановление открытого ключа: Метод повышения эффективности, имеющий решающее значение для масштабируемых систем, таких как блокчейны.
• Подписи Шнорра: Схема подписи следующего поколения, предлагающая превосходную эффективность, конфиденциальность и масштабируемость благодаря агрегированию.

Как разработчики и архитекторы, понимание этих продвинутых концепций больше не является просто академическим упражнением. Они развертываются в глобальных системах сегодня, от обновления Taproot в Bitcoin до протоколов безопасного обмена сообщениями, которые защищают наши повседневные разговоры. Хотя окончательную реализацию всегда следует оставлять проверенным библиотекам, проверенным экспертами, глубокое понимание механики, обеспечиваемое такими инструментами, как `BigInt`, позволяет нам создавать более безопасные, эффективные и инновационные приложения для глобальной аудитории.